CUERPOS GEOMÉTRICOS
La esfera
Es un cuerpo de revolución, se forma al girar un semicírculo sobre el eje. No tiene caras planas, ni vértices ni aristas. Todos sus puntos exteriores están a la misma distancia de su centro.
Características de la esfera
- Es un cuerpo geométrico tridimensional.
- Es un cuerpo redondo (no es un poliedro).
- Está formada por una superficie curva continua.
Superficie
- Tiene una sola superficie curva.
- No tiene caras planas.
- Todos los puntos de la superficie están a la misma distancia del centro.
Elementos
- Centro: punto interior equidistante de toda la superficie.
- Radio: distancia del centro a la superficie.
- Diámetro: el doble del radio (pasa por el centro).
Caras, aristas y vértices
- Caras: no tiene (no hay superficies planas).
- Aristas: no tiene.
- Vértices: no tiene.
Propiedades geométricas
- Es completamente simétrica.
- No tiene bases.
- No tiene altura.
- Puede rodar en cualquier dirección.
Relación entre radio y diámetro
\(d = 2r\)
Volumen
\(V_{esfera} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)
El cono
Es un cuerpo de revolución, se forma al girar un triángulo sobre el eje. Su base es un círculo, tiene un vértice y no tiene aristas. Se obtiene al hacer girar un triángulo alrededor de uno de sus catetos.
Características del cono
- Es un cuerpo geométrico tridimensional.
- Es un cuerpo redondo (no es un poliedro).
- Está formado por:
- 1 base circular.
- 1 superficie curva.
- 1 vértice.
Superficie
- Tiene:
- 1 base plana (círculo).
- 1 superficie lateral curva.
- La superficie curva une toda la base con el vértice.
Elementos
- Base: un círculo.
- Vértice: punto superior (también se llama ápice).
- Radio: del centro de la base al borde.
- Altura: distancia del vértice al centro de la base (perpendicular).
Caras, aristas y vértices
- Caras: 1 (la base).
- Superficie curva: 1.
- Aristas: 1 (borde circular de la base).
- Vértices: 1.
Propiedades geométricas
- Tiene una base circular.
- La superficie lateral es curva.
- Todos los puntos del borde de la base están unidos al vértice.
- Puede rodar, pero no de forma uniforme como la esfera.
Altura y generatriz
- Altura: perpendicular a la base.
- Generatriz: línea inclinada del borde al vértice.
Volumen
\(V_{cono} = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h\)
Es como un cilindro, pero ocupa la tercera parte.
La pirámide regular
Es un poliedro. Su base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales con un vértice común.
Características de la pirámide
- Es un cuerpo geométrico tridimensional
- Tiene una base que es un polígono.
- Las caras laterales son triangulares.
- Todas las caras laterales se unen en un punto llamado vértice o ápice.
Caras
- Tiene una base.
- Varias caras laterales (triángulos).
- Todas las caras comparten el mismo vértice.
Aristas
- Son los segmentos que unen las caras.
- Hay aristas en la base y aristas laterales (van desde la base al vértice).
Vértices
- Son las esquinas.
- Tiene los vértices de la base y un vértice superior también llamado ápice.
Altura
- Es la distancia desde el ápice hasta la base.
- Se mide de forma perpendicular a la base.
Clasificación
- Se nombran según la forma de la base:
- Pirámide triangular.
- Pirámide cuadrangular.
- Pirámide pentagonal.
- Pirámide hexagonal.
Propiedades geométricas
- Tiene una sola base.
- Las caras laterales:
- Siempre son triángulos.
- Se juntan en el ápice.
- No tiene caras paralelas como el prisma.
Elementos que se pueden contar
- Si la base tiene \(n\) lados:
- Caras \(= n + 1\).
- Aristas \(= 2n\).
- Vértices \(= n + 1\).
Volumen
\(V_{piramide} = \dfrac{1}{3}A_{base} \cdot h\)
El cilindro
Es un cuerpo de revolución, se forma al girar un rectángulo sobre un eje. Sus dos bases son círculos, no tiene vértices ni aristas. Se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Características del cilindro
- Es un cuerpo geométrico tridimensional.
- Es un cuerpo redondo (no es un poliedro).
- Está formado por:
- 2 bases circulares y paralelas.
- 1 superficie lateral curva.
Superficie
- Tiene:
- 2 bases planas (círculos).
- 1 superficie lateral curva.
- La superficie curva une las dos bases.
Elementos
- Bases: dos círculos iguales.
- Radio: del centro de la base al borde.
- Altura: distancia entre las dos bases.
Caras, aristas y vértices
- Caras: 2 (las bases).
- Superficie curva: 1.
- Aristas: 2 (bordes circulares).
- Vértices: 0.
Propiedades geométricas
- Las bases son:
- Iguales.
- Paralelas.
- La superficie lateral es curva.
- Puede rodar.
- Mantiene siempre la misma sección circular.
- Es como un prisma, pero con las bases circulares.
- Es como “apilar muchos círculos iguales”.
Volumen
\(V_{cilindro} = \pi r^2 h\)
El prisma regular
Es un poliedro. Sus dos bases son polígonos regulares y sus caras laterales son paralelogramos.
Características del prisma
- Es un cuerpo geométrico tridimensional.
- Tiene dos bases iguales y paralelas.
- Las bases son polígonos (triángulo, cuadrado, pentágono, etc.).
Caras
- Tiene dos bases.
- Tiene tantas caras laterales como lados tenga el polígono que forma sus bases.
- Las caras laterales son paralelogramos.
Aristas
- Son los segmentos que unen las caras.
- Hay aristas de las bases y aristas laterales.
- Las aristas laterales son paralelas entre sí.
Vértices
- Son las esquinas del prisma (puntos en los que se unen dos aristas).
- Cada vértice pertenece a una base y se conecta con la otra.
Altura
- Es la distancia entre las dos bases.
- Es perpendicular a las bases (en prismas rectos).
Clasificación
- Se nombran según la forma de la base:
- Prisma triangular.
- Prisma cuadrangular.
- Prisma pentagonal.
- Prisma hexagonal.
Porpiedades geométricas
- Las bases son:
- Iguales (congruentes).
- Paralelas.
- Las caras laterales:
- Unen las bases.
- Son todas iguales en los prismas regulares.
Elementos que se pueden contar:
- Si la base tiene \(n\) lados:
- Caras \(= n + 2\).
- Aristas \(= 3n\).
- Vértices \(= 2n\).
Volumen
\(V = A_{base} \cdot h\)
ÁNGULOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS
Un ángulo es convexo cuando es menor de \(180^\circ\).
Un ángulo es cóncavo cuando es mayor de \(180^\circ\).
FIGURAS CÓNCAVAS Y CONVEXAS
Una figura es convexa si cualquier segmento que una dos de sus puntos queda completamente dentro de la figura. Todos sus ángulos son convexos.
Por ejemplo:
Una figura es cóncava si existe algún segmento que una dos de sus puntos que no quede completamente dentro de la figura. Tiene algún ángulo cóncavo.
Por ejemplo:
